AR辅助神器：台球背后的数学模型
近几年,中国的一批运动员在台球世界崛起,像台球神童丁俊晖,还有神奇小子傅家俊,更有九球美女潘晓婷吸引了不少眼光,台球运动在中华大地蓬勃发展。台球运动日益成为大众体育娱乐的重要内容。
有个葡萄牙学生研究出了一款AR，叫做“PoolLiveAid”，专门教你如何在瞬间成为台球高手，刚上手就直接秒了对方。它能直接用瞄准线投影的方式将线路投射在球桌上，看好路线后随你怎么打，让你一击必中。
台球大师戴维斯说过:“台球最重要的是力度。”
在打球的时候,合理使用杆法的同时,力度的掌握相当重要。力度的掌握归根结底还是为了让主球的走位比较好一些,能够有利于下一次击球。因此,对台球运动进行生物力学分析,找到其力学规律非常必要。小数今天就台球运动过程中各个阶段的受力情况,从运动生物力学的角度进行计算与分析,为台球运动的普及与提高提供理论指导和实践性建议。
1台球运动的力学原理台球作为刚体运动的典型例子,其在桌面上所作的各种运动,归根结底就是刚体小球的质心平动和绕质心转动。在台球运动中粗糙的桌面对小球的摩擦力起着重要作用。
台球作为一个球形对称的刚体,它的质心在几何中心,根据力学中的质心运动定理,当台球受力过球心时形成平动,这种平动符合动量定理,其冲量等于动量的改变。若台球受到的冲量,动量的变化量
则：
其中为台球受到球杆打击过程中受到的冲量,为台球的质量,为击球过程中球速的变化量；
当台球受到的力不过球心时,球体既有平动又转动，这是一个典型的刚体的平面运动问题,此时平动方面满足动量定理,转动方面满足转动定理,
即有：
其中是动量矩，为台球转动惯量，是球的角速度变化量。
2台球击球范围分析
台球的母球和其他球都是规则的球形,面对母球平视,我们看到的是一个圆,这个圆面理论上任意一点都是可以击打的点,但是有时候球杆打在圆球边缘时,会出现滑杆，这是因为球杆和球的接触时，我们以球杆的前端为研究对象，它受到的推力沿着切线方向的分力大于最大静摩擦力。如图是从侧面看到的受力分析图。假设每次击球都是水平的,而且击球的力是恒定的,我们看到离球心越远，力和半径的夹角越大,最大静摩擦力随着夹角的变大而变小(为球杆前端和球的动摩擦因数),所以要不打滑必须使,也就是。因此运动员在打强烈上旋球或者下旋球是总要擦巧粉增加动摩擦因数,以免打滑。
2.1撞击主球中上点
假设质量为,半径为的台球,受到球杆沿水平方向击打的冲击力为,力的水平作用线距球心的距离为。我们分析台球的受力情况及运动状态。台球受到的冲量为，沿轴正方向,因此击打施与台球沿顺时针的冲量矩为因为台球还受到向下的重力和竖直向上的正压力的作用,根据刚体质心运动的动量定理和动量矩定理可知,球心获得沿轴正向的平均速度和顺时针转动的角速度,即:若规定顺时针的转动方向为正方向,式中为球体的转动惯量,台球于与面接触点的速度为：（3）
将(1)和(2)式代入(3)式可得：
(4)
由(4)式可见,当时，,这时球心的速度与滚动角速度满足不
滑动的条件，因此，滑动摩擦力不存在，只有很小的滚动摩擦力，于是小球沿正方向近似匀速地持续滚动下去。当时,小球将作有滑滚动。当水平方向的冲击力距离球心的高度时,台球作纯滚动,转动的角速度与冲量成正比,当水平方向的冲击力距离球心的高度时,台球首先做即滑又滚的运动,经过一段时间或后,在桌面对台球摩擦力的作用下,都将转变为角速度共同的纯滚动运动,转动的角速度都与冲量的成正比。
2.2撞击主球中下点
如图所示,此种受力情况与撞点在上的推杆球,除了初始旋转方向不同外,其他方面具有类似的规律。
可得：；(5)
台球做无滑滚动时,求新的平动速度和转动速度分别为
/p>
；(6)
主球一开始就具有逆旋的力矩,球则一边行进一边倒旋,由于台呢的磨擦作用,倒旋减缓直到为零,球经过一段滑行,便过渡到正旋前进,直到减慢停止。
2.3撞击主球中心击点
如图所示,此种情况开始没有旋转,向前滑动瞬间后,因受台呢的磨擦阻力作用,渐渐产生了正旋力矩,使球与台面接触点速度减慢,球的顶点速度不变,于是球便向前旋转起来。球在哪里开始旋转,能滚到多远的距离,依击球力量的大小而不同。
3与目标球碰撞后主球运动的力学分析
台球可视为光滑、匀质、球形刚体，所以台球的碰撞可视为无摩擦、对心碰撞,碰撞过程中不会改变彼此的转动动量矩;另一方面,台球是等质量的，如果不考虑能量损失，碰撞后主球将其法向冲量全部传递给目标球,切向方向动量不变，如右图。定义偏角:目标球行进方向与主球撞前行进方向的夹角。假定平动速度,转动速度为的主球,以偏角撞击目标球,则目标球以水平()速度沿法线方向(轴的正方向)运动,而主球保持原来的转动速度,以速度垂直()向切向方向(轴方向)运动。
3.1正碰的情形正碰是指主球碰前运动方向通过目标球的中心,即偏角为零的碰撞。根据碰撞过程中的力学规律,假设,则碰撞后主球的线速度切向分量,角速度不变。3.2主球为下旋球当小球受到中下方的打击后,将形成下旋球,设在作下旋滚动的A球沿X轴正方向运动。而后与其正前方的一个静止的B球发生了正碰。根据刚体的动量守恒和能量守恒定律可知,相撞后两球的平动速度互换,而A球的转动速度不变。相撞后,A球将沿逆时针转动,并朝着X轴负方向推去,形成“缩杆球”。下面分析相撞后A球(主球)的运动情况。相撞后A球的平动速度
7)
A球沿逆时针转动的角速度由式(5)可知/p>
(8)
则A球与桌面接触点的速度为/p>
(9)
显然,接触点沿轴正向滑动,故施于A球的摩擦力朝负方向,,施于相对于球心的力矩为顺时针方向。若从两球相撞后分开瞬间开始计时,则相撞后t时刻A球球心的平动速度和转动角速度分别为/p>
；(10)
则A球与桌面接触点的速度为：
(11)
令,可得所需时间/p>
(12)
当时台球沿负轴方向做无滑滚动,将代入式(10),则无滑滚动的质心速度和转动角速度分别为:
；(13)
由此可见,被击打了下部的A球,与B球相撞越早,A球沿负向作无滑滚动退回的速度就越快,沿负方向持续运动的时间也就越长。
主球为上旋球与主球为下旋球的道理相同,如果主旋球为上旋球,则与目标球碰撞后跟进,形成“跟进球”。如果主球不旋转,则与目标球碰撞后会停留在目标球相撞的位置,形成“定位球”。
经过小数今天的建模，大家是不是对台球的击球点和旋转球碰撞有了一些理解呢？初学者练球时，要先熟悉中心、中上和中下这三个主要常用的击点。这三个击点若能打得好，无论打无袋式或落袋式台球，基本上都能解决击球得分的问题。
参考文献
[1]马文海，斯诺克台球运动技术的力学分析[J]，武汉体育学院学报-51
[2]刘卫国，台球技术旋转的生物力学分析[J]，北京体育大学学报-56
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