π在数学和物理中无处不在。它在某些情况下的出现很容易理解，而在另一些情况下则需要思维发散，一种无视所有直觉的思维发散。无论在哪里出现，π总是隐藏着一个圆。让我们开始对π进行解剖，并探索一些意想不到的情况。
圆
历史告诉我们，由于圆之美，π在古代具有崇高的地位，几乎是神圣的。几个古代数学家似乎独立地发现了它，并完善了它的数字精确性，用于天文学、建筑、宗教仪式和获得纯粹的数学乐趣。
习惯上认为π是一个圆。我们在学校里学过，圆的周长C与直径D的比值C/D是恒定的。比例常数用π表示。它是一个美丽的超越数，值为3.……所有能想到的数字都可以在π的小数展开式中找到，包括你的生日。
布冯针
假设我们把一根针扔在地板上。如图所示，假定地板是等距的矩形条。它在任何两条带子之间的一条线（间隙）上着陆的概率是多少？
乔治·路易斯·勒克莱尔是十八世纪的博物学家、数学家和宇宙学家。据说他在年就提出了这个问题。
针落在地板条的间隙上。地板带宽度w和针长l当然是考虑针是否与缝隙相交的重要因素。为了理解它与π的关系，我们只需要考虑最简单的情况（lw）。针的平动自由度和转动自由度允许它下落、弹跳，并围绕通过其质心的轴线旋转，然后才落在地板上。
地板是xy平面，z轴从地板垂直向上。当针与地板间隙相交时，圆（上图虚线）必须与地板条确切地相交于两点，而地板条之间的间隙形成了一个圆的弦。
解决方案
它与间隙相交的概率P是P=2l/wπ。假设N针个针随机落在地上，其中k次落在间隙上，当N→∞时，概率为P≈k/N，这意味着π≈2lN/wk。这种方法是一种巧妙的蒙特卡罗模拟，可以用来计算π的值。
一个台球桌
年，格雷戈里·加尔佩林（GregoryGalperin）在准备一个研讨会演讲时提出了一个计算π值的新方法。与布冯针方法不同，他的方法是确定性的。在我们开始之前，我们需要理解理想化的台球碰撞，即所谓的西奈台球问题。
西奈台球
年，杰出的数学家雅科夫·西奈（YakovSinai）引入了一个理想化的物理系统。一个台球在理想的方形台球桌表面弹性地弹跳（即没有动量或能量损失），只需要做一个小的修改——引入一个内圆障碍，其中心与台球桌的中心重合。球在外方壁和内圆壁之间的区域自由地弹跳。球的运动是遍历的，这意味着，如果我们放大到一个任意的面积A，球穿过它所花费的时间t与它的面积t∝A成正比。这种理想化被用于研究许多动力学系统。更不用说它与非欧几里德几何的联系——球面或双曲几何。
碰撞质量
取两个质量(m,M)，它们的比值是10的偶次幂，M=km，k={10,10,10,10,…}。m位于一个光滑的地板上，距离一堵光滑的墙有一定的距离。它被夹在壁面和另一个质量M之间，M以恒定速度向壁面移动。M和m碰撞，然后M和墙碰撞，反弹，在彼此和墙发生一系列碰撞之后，它们最终都远离了墙，不再碰撞。
如果我们计算总碰撞次数N，包括相互碰撞和碰撞墙的次数，我们得到N={3,31,,1,15,…}，这些都是π的数字！具体地说，当质量k={10,10,10,10,10,…}的比值。
假设你有一个概念，在整个可见宇宙中有k=10^个原子。我们无法想象用这种方法能让π达到位的精度。很难不感到惊讶的是，碰撞的数量应该追踪到π的数字，使我们能够以任意的精度快速地说出它们——这一事实简直令人震惊！这个问题中的圆在哪里？
对于k=10^0=1和m=M，很容易得出碰撞次数，N=3。
碰撞#1：M与静止的m完美碰撞，传递其全部动量(因为m=M)，使M静止，使m向墙方向。碰撞#2：m从墙上反弹(←→)，仍然保持相同的速度，但方向相反，向M方向移动。碰撞#3：m与M碰撞并静止，将所有动量转移给M，然后m永远远离壁面。之后就没有碰撞了。对于这个比率的其他值，可以模拟碰撞并计算它。对于M=10^2m，有N=31；对于M=10^4m，有N=；以此类推。在总碰撞数中，很容易发现π的数字模式。
对称
对称性和守恒定律是密不可分的。动能守恒要求K.E=mv/2+MV/2在随后的弹性碰撞中是恒定的。同样，线性动量守恒要求p=mv+Mv是恒定的。即使在动量传递中速度是变化的，这些量（p,K.E）是固定的。仔细观察就会发现K.E是一个圆的方程，由速度对(v,V)得到一个给定的K.E都在圆上。p是一条直线的方程，它有一对速度(v,V)在一条直线上。K.E圆与p-线的交点是一次碰撞的解。许多平行的p线将圆切成相等的弧是后续碰撞的解决方案。
通过使用：
转换抽象空间中的碰撞动力学称为构型空间或相空间，该问题简化为计算与K.E圆相交的p-线的平行弦，用从一个交点到下一个交点的约束跳跃表示的碰撞。下面这段视频优美地捕捉到了精髓。
05:12无穷级数
几个世纪以来，数学家们一直在研究无穷级数。它产生了几个运动悖论，如阿基里斯和乌龟和二分悖论。在π问题上，中世纪有几个独立的发现，无限级数和收敛于π，最早的尝试来自于一位印度天文学家。还有17世纪的莱布尼茨和格列高利。无穷级数怎么能和一个圆联系起来呢？
Mādhava-Leibniz级数
收敛到π的无穷级数与4k+1的高斯素数因子有关发现它后，莱布尼茨觉得自己解开了大自然的奥秘，以至于他放弃了律师的职业，转而从事数学方面的工作。我们可以理解为什么奇数倒数的交替加减法在莱布尼茨的心中有着特殊的地位，即使它早在两个世纪前就被发现了——正是因为它的美丽和简单。
另一个更优雅的理由是，它将π与高斯素数的分布联系起来，高斯素数是复平面上一个圆上的格点。粗略地看这个级数并不能揭示这种联系。我们必须发现隐藏在其中的一种对称性，这使得它值得探索。让我们来探索上面的第二个方程（下图），它抓住了这种对称性的本质。
晶格
在图中，一个复平面被放置在一个1x1单位正方形的网格上，由11^2=个金色点组成一个网格，每个格子点代表一个有序的整数对。对于任意格点（x，y）=（1，-3）我们可以把它表示为复数B=1-3i，其中i^2=-1是常用的符号。
高斯质数形成了一个模式，晶格上的环，以及其他的环。一个半径为r的圆包含多少格点？
一个半径为r的圆所包含的格点个数(N)与圆的面积成正比。由于我们故意选择使用单位方格来构建网格，所以每个单位面积有一个格点。我们可以让它们覆盖整个圆，但是在圆的边界上有点棘手，没有完全覆盖。
当r足够大时，在极限下，它收敛到一个格点的数目就是我们要找的数目。面积近似为πr^2，即Nr^2≈πr^2。随着半径的增大，“近似”会变成“精确”，而估计数N和π之间的百分比误差会变小。如果我们用一个枚举算法来计算格点的数量，就会得到π。
积分模式
所有的圆都在晶格点上吗？
有无限多个半径小于r的圆与r同心圆，我们称它们为环。并不是所有的环都与格点相交。
通过构造，有无穷多个的非整数环，r^2={3.7,4.2,0.78,…∞)不与任何格点相交，可以从计数中省略。斜边为r^2={2,10,17}={(1+1),(1+3)，(1+4)}的直角三角形与格点相交，形成勾股定理。其他的，如r^2={7,21}的*色、橙色环，不与任何格点相交。高斯质数
每个4n+1形式的质数都是两个平方和的一种形式。
所有整数，如果不是质数，都有唯一的质数因子。狄利克雷定理指出，如果(a，b)是正整数，且1是它们的最大公约数，即GCD(a，b)=1，则存在无穷多个an+b形式的素数。有无数个质数的形式为4n+1和4n+3。所有质数都是奇数，只有2是偶数质数。
考虑与格点相交的红色环r^2=17。17是类型为4n+1的素数，可表示为两个平方和：
我们可以组成八个毕达哥拉斯三元组：
显示为红点。4±i是高斯质因数，因为它们不能被进一步分解。
这个r^2=7的*色环，是一个4n+3的素数，不可能是任何边为整数的直角三角形的斜边。因此，它不与任何格点相交。那么r^2=21呢，这个橙色的环？这两个因子（21=73）虽然不明显，但都不是4n+1型。
对称。
r^2={1,2,4,5,8,9,10,16,17,18,20,25,45}的灰色环都与晶格相交。那么其他整数呢，比如这个橙色环r^2=15=2^2+1^1=35。我们知道5是一个4n+1素数，它的高斯素数共轭是(2+i)(2-i)。但另一个因素，即3，打破了对称性。它不能分解成高斯质数所以它不会与任何格点相交。如果我们通过引入一个因子3来恢复对称性，使r^2=45（用淡绿色表示），那么：
如果r^2包含2的幂呢？*色环有r^2=28=72^2。因为2=(1+i)(1-i)，2的任何幂提供一对素数共轭，不影响格点，所以我们可以从计数中忽略它们。因为7是4n+3素数，所以r^2=28不会与任何格点相交。
旋转
让我们看一组：
这是一个在复平面上连续旋转90°的向量的特殊集合。为了说明问题，我们选一个绿色的环，r^2=45。的主要因素是:
从6+3i开始。为了移到下一个格点，我们将它旋转π/2=90°，得到：
重复一次，i(6i-3)=(-6+3i)，另一个格点！再做一次，得到i(-6+3i)=(-6i-3)，最后第四次，我们得到i(-6i-3)=(6–3i)，回到我们开始的地方。利用单一高斯素数6+3i，我们得到了一个圆的共4个格点。我们可以对6-3i做同样的事情。因此，旋转对称意味着，我们简单地计算唯一因子的数量，然后将结果乘以4。
计数规则
我们看到了晶格点计数的一些有希望的提示。让我们总结一下他们。
整数规则：如果一个环有格点，r^2必须是整数。奇素数规则：当r^2是4n+1类型的奇素数时，有格点。当它不是（即r^2=7）时，晶格点为零。对于任何其他整数（即r^2=10），如果其素数因子（2,5）本身可以分解成对称高斯素数共轭，我们可以找到格点。2的幂规则：r^2包含2的幂并不会改变环的格点数量。r^2={10，20，40，80…}的格点个数与R=5相同。4的倍数规则：由于高斯质数在环上的旋转（），所有相交的圆的总数都是4的倍数。有了这些规则，我们可以开始数数了。下面是到目前为止的格子计数模式：
半径为r^2={1，2，3，..，25}上的格点个数N={4，4，0，…，12}。狄利克雷字符
这是函数chi，(n)具有以下属性：
(1)=1对于所有n，有一个正整数k使(n)=(n+k)如果GCD(n，k)1，(n)=0，并且如果GCD(n，k)=1,(n)≠0(mn)=(m)(n)通过函数的定义，出现了以下模式：
这个函数的意义是什么？它允许我们表示(1)，(2)…等等，这是我们需要计算的近似π的计数。
让我们考虑同样的例子：
可以使用进行扩展，并将其写成：
注意45的除数是怎么出现的。这允许我们得出一个模式：对于任意N，在半径r^2=N中包含多少(1)，(2)，(3)等。所有N的除数都出现在计数中。有些数有很多因子，有些像质数只有两个因子等等。但是所有的数都有1的除数，一半的数有2的除数，三分之一的数有3的除数，四分之一的数有4的除数，以此类推。
解决方案。
把所有这些放在一起，我们开始列出所有整数的格点数目：
我们必须数出{1,2,3,4，…N}的所有因数。不要忘了旋转的系数是4。
对于给定的N，集合{1,2，…，N}中%的整数都能被1整除，所以我们将1包含在(1)中。
接下来，所有整数{1,2，…N}中大约有一半能被2整除。我们将因子(1/2)与(2)联系起来：
美丽的π
π出现的例子还有很多，包括傅里叶分析，解析数论等等。在它出现的地方，我们可以确定有一个隐藏的圆。数学上最美丽的等式之一是欧拉恒等式，它有五个组成部分(e，π，i，1，0)：